>>>>关于矩阵特征值的一些疑问<<<<

若已知A是秩为r的n阶方阵，且A^2=2A，那么A的特征值为何只有0和2，且有r个2，n-r个0？
能保证A没有其他的特征向量吗？
我是绕进牛角尖了，我是想A已经满足关系：A^2=2A，为何就不能满足其他关系，如：A^2+4A+3E=0，从而得到A的另两个特征值-1和-3呢？（且不管A的秩）
还有，“秩为r，即有r个不为零的特征值”吗，麻烦详细解释解释吧？（请不要用A相似于对角阵D…来解释，因为还不知道A是否可以对角化）
多谢了，回答好我会再加30分！

是这样的。
首先，A的特征值只能是0和2，而不可能为其它。设a为A的特征值，对应的一个特征向量为x(x不为0)，则Ax=ax，由(A^2)x=2Ax得，(a^2-2a)x=0,x不为0，故a^2-2a=0,所以特征值只能是0和2。若你说除此还有第三个特征值，我们不妨设
Ay=cy（c不为0，2）。A^2=2A的意思是，对于任何的x属于C^n，都有(A^2)x=2Ax （1式）,而对于这个特定的y来讲(A^2)y=cAy，与（1式）矛盾。如上所述，A可能具有的特征值只有0和2。

然后再看关于特征空间的维数。关于特征值0，特征方程为Ax=0,其解空间的维空等于A的零空间的维数，而A的零空间和它的行空间互为正交补，他们的维数之和为n。而A的行空间的维数等于A的秩为r，故A的零空间的维数为n-r。或者说的浅显一点，A有r行是线性无关的，即有n个未知数，r个方程(r<=n)，所以Ax=0的解空间的维数是n-r。具体原因是在进行高斯消元法时，只能等到r个非零的pivot，其余n-r个变量为自由变量，可以随意赋值，这导致了解空间的维数为n-r。

然后说特征值2的对于的特征空间的维数。因为特征空间有可能是退化的，所以不能由特征值0有n-r个线性无关的特征向量来得出特征值2有r个线性无关特征向量。关于特征值2的特征方程是(A-2I)x=0 (或者(2I-A)x=0，是一回事)，而从A^2=2A,我们可以知道(A-2I)A=0，这说明A的所有列向量均为特征值2的特征向量，而列空间的维数＝A的秩＝r，故从这个式子我们可以得到r的线性无关的特征向量。

然后我们再来看，我们现在得到了n-r个关于特征值0的特征向量，r个关于特征值2的特征向量，即特征值0的几何阶至少为n-r，特征值2的几何阶至少为r。而(n-r)+r=n＝A的秩，我们已经找到了A全部的特征向量，而且特征空间全部是非退化的。由特征空间全部是非退化的，我们可以知道特征值0和2的代数阶都等于几何阶，这样他们的代数阶就分别是n-r和r。

钻牛解尖是好习惯，不钻牛角尖哪是学数学啊。

如果(P逆)AP=D为对角阵
A^2=2A等价于D^2=2D
所以D的对角元素只能为0和2